Moyo Nya

  Nous allons  présenter une ANOVA à mesures répétées comportant non seulement un facteur intra-sujets  mais également un facteur inter-sujets. Pour ces données, supposons que certains rats aient été soumis à un régime spécial (facteur inter-sujets), et nous souhaitons également savoir si le traitement a eu un effet Apprentissage en fonction de l’essai et du traitement (Données hypothétiques) Entrées dans SPSS, nos données sont : Pour lancer l’analyse, nous sélectionnons comme précédemment : ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → MESURES RÉPÉTÉES Nous nommons une fois de plus le facteur intra-sujets, mais il faudra aussi inclure le facteur treat (traitement) dans l’analyse : Remarquez ci-dessus que nous avons déplacé treat dans la boîte des facteurs inter-sujets. Nous procédons ensuite à l’analyse : Les tests multivariés montrent qu’il existe une preuve d’un effet de l’essai (p = 0.007), mais pas d’une interaction essai*traitement (p = 0.434). Test de sphéricité de Mauchlya Le test de sphéricité de Mauchly donne une valeur p = 0.245, donc nous n’avons pas de preuve pour rejeter l’hypothèse nulle de sphéricité. Cela signifie que nous pourrions, en théorie, interpréter la sortie avec sphéricité supposée (mais nous interpréterons de toute façon le test de Greenhouse–Geisser, qui est plus conservateur). Tests des effets intra-sujets Les tests univariés ci-dessus révèlent un effet pour l’essai (p = 0.000), mais aucun pour l’interaction essai*traitement (G–G, p = 0.194). Tests des effets inter-sujets Les effets inter-sujets indiquent la présence d’un effet pour le traitement (p = 0.005), avec un eta carré partiel de 0.891. Un graphique illustrant les résultats montre clairement cette tendance :   Une ANOVA à mesures répétées 2 × 3 a été réalisée, où le traitement était le facteur inter-sujets avec deux niveaux, et l’essai était le facteur intra-sujets avec trois niveaux. Un effet de traitement (p = 0.005) ainsi qu’un effet d’essai (p < 0.001) ont été observés. Aucune preuve d’un effet d’interaction n’a été trouvée (Greenhouse–Geisser, p = 0.194).

Considérons les données fictives suivantes sur l’apprentissage en fonction de l’essai. Pour ces données, six rats ont été observés dans une boîte de Skinner, et le temps (en minutes) que chaque rat a pris pour appuyer sur un levier a été enregistré. Si le rat apprend la réponse « appuyer sur le levier », alors le temps nécessaire pour appuyer sur le levier devrait diminuer au fil des essais. Apprentissage en fonction de l’essai (Données hypothétiques) Essai Rat 1 2 3 Moyennes des rats 1 10.0 8.2 5.3 7.83 2 12.1 11.2 9.1 10.80 3 9.2 8.1 4.6 7.30 4 11.6 10.5 8.1 10.07 5 8.3 7.6 5.5 7.13 6 10.5 9.5 8.1 9.37 Moyennes des essais M=10.28M=10.28 M=9.18M=9.18 M=6.78M=6.78 Nous observons que, globalement, le temps de réponse moyen diminue au fil du temps, passant de 10.28 à 6.78. Pour ces données, chaque rat sert essentiellement de son propre « témoin », car chaque rat est observé de manière répétée à travers les essais. C’est ce qui rend ces données des mesures répétées. Notons qu’il n’y a que 6 rats utilisés dans cette étude. Dans un plan inter-sujets classique, chaque point de données représenterait une observation sur un rat différent, ce qui donnerait ici 18 observations. Pour nos données, la variable dépendante est le temps de réponse en minutes, tandis que la variable indépendante est l’essai. Les données nécessitent une ANOVA à mesures répétées à un facteur. Nous souhaitons évaluer l’hypothèse nulle selon laquelle les moyennes des essais sont égales : Hypothèse nulle : Moyenne de l’essai 1 = Moyenne de l’essai 2 = Moyenne de l’essai 3 Un rejet de l’hypothèse nulle suggérerait qu’il existe une différence entre les essais. L’ANOVA à mesures répétées viole l’hypothèse d’indépendance entre les conditions, et donc une hypothèse supplémentaire est requise pour ces plans : l’hypothèse de sphéricité, que nous évaluerons dans SPSS. La saisie des données dans SPSS est légèrement différente pour une ANOVA à mesures répétées par rapport à un plan inter-sujets classique. Nous entrons les données comme suit : Chaque colonne correspond aux données d’un essai. Pour analyser ces données, nous procédons comme suit : ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → MESURES RÉPÉTÉES SPSS affiche par défaut le facteur 1 dans le champ « Nom du facteur intra-sujet ». Nous le renommons en « trial » et entrons « 3 » dans « Nombre de niveaux », car il y a trois essais. Cliquez sur « Ajouter », ce qui affiche maintenant la variable « trial » dans la boîte (trial(3)). Ensuite, cliquez sur « Définir ».   Déplacez « trial_1 », « trial_2 » et « trial_3 » vers les emplacements respectifs dans la fenêtre « Variables intra-sujets (trial) ». Dans la fenêtre « Graphiques de profil », déplacez « trial » vers l’axe horizontal, puis cliquez sur « Ajouter » pour que « trial » apparaisse dans la fenêtre des graphiques en bas de la boîte. Cliquez sur « Continuer ». Nous obtiendrons également un graphique des moyennes. Sélectionnez Tracés puis deplacer la variable Trial dans Axe horizontal . Enfin, nous obtiendrons une mesure de la taille de l’effet avant de procéder à l’analyse. Sélectionnez Options puis Estimations d’effets de taille. Sélectionnez Moyenne marginale estimée. puis deplacez « trial » vers la fenêtre « Afficher les moyennes pour » et cochez la case « Comparer les effets principaux », avec un ajustement de l’intervalle de confiance égal à LSD (aucun).  Syntaxe générée par SPSS : SPSS confirme d’abord que notre facteur intra-sujets comprend trois niveaux. Ensuite, SPSS fournit les tests multivariés : Une ANOVA à mesures répétées a été réalisée sur « trial » avec trois niveaux. Tous les tests multivariés suggèrent un rejet de l’hypothèse nulle selon laquelle les temps d’apprentissage moyens par essai sont différents dans la population d’où proviennent les données. La trace de Pillai, le lambda de Wilks, la trace de Hotelling et la plus grande racine de Roy étaient tous statistiquement significatifs (p=0.003). Le test de sphéricité de Mauchly a été réalisé pour évaluer l’hypothèse nulle de sphéricité entre les essais. Il n’y a pas suffisamment de preuves pour suggérer une violation de la sphéricité (p=0.076). Les tests univariés de significativité sur le facteur « trial » rejettent l’hypothèse nulle d’absence de différences moyennes entre les essais (p<0.001). Environ 94 % de la variance (ηp2=0.936) des temps d’apprentissage moyens peut être expliquée par « trial ». Le test de Greenhouse-Geisser, plus conservateur et protégeant contre une éventuelle violation de la sphéricité, rejette également l’hypothèse nulle (p<0.001). Les tests multivariés sont un peu plus complexes à interpréter que le F univarié. Nous les détaillerons davantage dans le chapitre sur la MANOVA. Pour faire simple : au lieu de considérer le temps de réponse comme une seule variable dépendante, on le considère comme trois variables (essais 1, 2 et 3), ce qui transforme l’analyse en une ANOVA multivariée. Tous les tests multivariés (trace de Pillai, lambda de Wilks, trace de Hotelling, racine maximale de Roy) indiquent un effet significatif, avec une valeur de p = 0,003. L’eta partielle au carré est de 0,942, indiquant un effet fort des essais sur le temps de réponse. Test de sphéricité de Mauchly Ce test est essentiel en ANOVA à mesures répétées. Ici, p = 0,076, ce qui signifie qu’il n’y a pas de violation significative de l’hypothèse de sphéricité. Tests univariés des effets intra-sujets Nous observons que l’effet du facteur trial est significatif (p < 0,001). L’eta partielle au carré est de 0,936, soit 94 % de la variance du temps de réponse expliquée par les essais. SPSS propose plusieurs corrections (sphéricité supposée, Greenhouse–Geisser, Huynh–Feldt, borne inférieure). Bien que la sphéricité ne soit pas violée ici, la correction de Greenhouse–Geisser est souvent recommandée. Tests de contrastes intra-sujets Les tests indiquent qu’une tendance linéaire explique mieux les différences entre essais (p = 0,000) qu’une tendance quadratique (p = 0,004). Le graphique suivant le confirme : On voit que le temps moyen diminue de manière presque linéaire entre les essais 1 et 3. Effets inter-sujets Ici, aucun facteur inter-sujet n’a été inclus. Toutefois, SPSS désigne la variabilité inter-sujets comme erreur. On peut démontrer cela en incluant manuellement une variable « sujet » comme facteur inter-sujet. Comparaisons par paires Les comparaisons montrent des différences significatives entre tous les essais (p < 0,05). Les intervalles

Supposons que nous souhaitons estimer la taille d’échantillon pour une ANOVA factorielle inter-sujets 2×2 : Pour obtenir la fenêtre ANOVA permettant d’estimer la puissance et la taille d’échantillon, sélectionnez TESTS → MOYENNES → PLUSIEURS GROUPES : ANOVA (Effets principaux et interactions (deux variables indépendantes ou plus)). Ci-dessous, nous estimons la taille d’échantillon pour une taille d’effet de f=0,25, à un seuil de significativité de 0,05, avec une puissance de 0,95. Chaque variable indépendante a deux niveaux, donc les degrés de liberté du numérateur, qui représentent le croisement des facteurs, sont égaux à 1 (c’est-à-dire (2−1)(2−1)(2−1)(2−1)). Le nombre de groupes est égal au nombre de cellules dans le design de l’interaction d’ordre le plus élevé, soit 4 (c’est-à-dire 2×2). Nous pouvons voir que dans ces conditions, la taille d’échantillon totale requise est de N=210, ce qui signifie 210/4 par groupe (soit 52,5, que nous arrondissons à 53 par groupe). Remarque : Le nombre de groupes correspond au nombre de cellules générées par le terme d’interaction d’ordre le plus élevé dans le modèle. Si nous avions un troisième facteur, par exemple, avec trois niveaux, le nombre de groupes aurait été égal à 2×2×3=12. Et si nous étions toujours intéressés uniquement par l’interaction 2×2, les degrés de liberté du numérateur seraient toujours égaux à 1. Une analyse de puissance a été réalisée pour estimer la taille d’échantillon requise pour une ANOVA factorielle 2×2 avec une taille d’effet de f=0,25 (effet de taille moyenne), un seuil de significativité de 0,05 et une puissance de 0,95. La taille d’échantillon totale estimée pour détecter cet effet est de N=210.

Il arrive parfois que, lors de la planification d’une ANOVA pour nos données, nous ayons une ou plusieurs variables que nous souhaitons garder constantes ou éliminer de la relation qui nous intéresse. Autrement dit, nous aimerions réaliser une ANOVA classique tout en incluant une ou plusieurs covariables dans le modèle. La technique idéale pour cela est l’Analyse de la Covariance (ANCOVA). La covariable est généralement une variable à distribution continue que l’on inclut dans l’ANOVA. L’intérêt principal d’ajouter des covariables dans un modèle est d’espérer obtenir un test plus puissant de l’effet d’intérêt (c.-à-d. la variable indépendante) en permettant à la covariable d’absorber une partie du terme d’erreur.  Exemple d’une ANCOVA : Nous allons à nouveau utiliser les données sur le QI. Cette fois, nous voulons voir s’il existe des différences entre les groupes sur la variable dépendante verbal, tout en incluant quantitatif comme covariable : ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → UNIVARIÉ Pour effectuer l’ANCOVA dans SPSS : Déplacez verbal dans la boîte  Variable dependente Déplacez groupe dans la boîte Facteur(s) Fixes Déplacez quantitatif dans la boîte Covariable(s)   Hypothèse d’Homogénéité des Pentes de Régression L’ANCOVA suppose toutes les hypothèses classiques de l’ANOVA, mais nous devons également supposer l’absence d’interaction entre la covariable et la variable indépendante. C’est-à-dire que, pour chaque niveau de la variable indépendante, la régression de la variable dépendante sur la covariable doit être linéaire et approximativement identique On peut évaluer l’existence d’une interaction en incluant le terme d’interaction dans le modèle : Choisissez « Model » Cliquez sur « Termes construits» Ajoutez tous les termes (group, quant, et group*quant) Ou bien exécutez le modèle factoriel complet Appuyez sur “Shift” pour sélectionner group et quant et obtenir le terme d’interaction dans la fenêtre « Model » La valeur p pour l’interaction group*quant est 0.107, ce qui n’est pas significatif, suggérant une absence d’interaction. Donc, l’hypothèse d’homogénéité des pentes de régression est respectée. Résumé : La variable indépendante « groupe » est statistiquement significative (p = 0.011). La covariable « quantitatif » est incluse dans le modèle, mais non significative (p = 0.639). Dans nos données, inclure la covariable a augmenté l’erreur moyenne quadratique, rendant le test moins sensible sur groupe (essayez l’ANOVA avec seulement group comme facteur). Pour plus de détails sur ce phénomène, voir Warner (2013), qui discute également de l’utilisation des somme des carrés de type I vs. type III. La décision sur l’hypothèse nulle pour groupe aurait été la même avec les SS de type I, recommandées par Warner pour l’ANCOVA

Après avoir obtenu des preuves d’une interaction, une étape logique suivante consiste à « explorer » l’effet d’interaction. Rappelons ce que l’interaction entre enseignement et manuel nous a révélé – elle nous a indiqué que les différences moyennes de manuel n’étaient pas cohérentes à travers les niveaux de enseignement. Eh bien, si elles ne sont pas les mêmes à travers les niveaux de enseignement, une question logique à se poser est : en quoi diffèrent-elles ? Autrement dit, nous aimerions examiner les différences moyennes de manuel à chaque niveau de enseignement. Voici quelques exemples d’effets principaux simples que nous aimerions analyser (à titre d’exemples seulement, nous voudrions probablement en analyser davantage en pratique). Le premier est la différence moyenne de manuel au niveau enseignement = 1, tandis que le second est la différence moyenne de manuel au niveau enseignement = 3  :​ Le graphique de gauche illustre deux effets principaux simples : À enseignement=1 , quelle est la différence moyenne entre les manuels 1 et 2 ? À enseignement = 3, quelle est la différence moyenne entre les manuels et 2 ? Pour calculer les effets principaux simples dans SPSS, nous avons besoin du code suivant : Le code ci-dessus générera la même ANOVA que celle obtenue précédemment (nous ne la reproduisons donc pas ci-dessous), mais, en plus, exécutera les effets principaux simples des comparaisons moyennes de manuel à chaque niveau de enseignement (c’est-à-dire /EMMEANS) : Basé sur les moyennes marginales estimées La différence moyenne est significative au niveau .05. Ajustement pour les comparaisons multiples : Bonferroni. Le tableau de gauche contient les moyennes des cellules comparées. Le tableau de droite contient les comparaisons par paires de manuel à chaque niveau de enseignement, avec un ajustement de Bonferroni pour contrôler l’inflation du taux d’erreur de type I. Ce que le tableau nous dit, c’est qu’à chaque niveau de enseignement, nous avons des preuves de différences de manuel, sauf pour enseignement=4, où les deux moyennes sont exactement les mêmes (92.667), d’où p=1.000. Nous pourrions également calculer les effets principaux simples des différences de enseignement à chaque niveau de manuel en ajustant quelque peu la syntaxe (remarquez COMPARE (enseignement) au lieu de COMPARE (manuel) sur la ligne /EMMEANS) : Analyse de Variance : Effets Fixes et Aléatoires Basé sur les moyennes marginales estimées La différence moyenne est significative au niveau .05. b. Ajustement pour les comparaisons multiples : Bonferroni. Quelques observations basées sur ces effets simples : À manuel = 1, toutes les différences par paires de enseignement sont statistiquement significatives, sauf enseignement=1 vs. enseignement = 2 (p=1.000). À manuel = 2, il n’y a aucune preuve de différences moyennes entre enseignement=1 et enseignement=2, ni entre enseignement=1 et enseignement=3. Nous interprétons les effets simples restants de manière analogue. Les effets principaux simples ont été réalisés pour décomposer l’interaction entre enseignant et manuel. Des différences entre enseignants ont été trouvées à manuel 1, sauf pour enseignement 1 vs. enseignement 2, tandis que les enseignants 1 et 4, 2 et 4, et 3 et 4 ont été trouvés différents à manuel 2.

Rappelons que dans une ANOVA à un facteur à effets fixes, il n’y a qu’une seule variable indépendante, et donc nous ne pouvons tirer de conclusions que sur les différences de moyennes dans la population selon cette seule variable. Cependant, il arrive souvent que nous souhaitions considérer plus d’une variable à la fois. Cela nous permet d’émettre des hypothèses non seulement sur les effets principaux (c’est-à-dire l’effet d’un seul facteur sur la variable dépendante) mais aussi sur les interactions. Qu’est-ce qu’une interaction ? Une interaction est l’effet d’une variable indépendante sur la variable dépendante, mais dont l’effet n’est pas constant selon les niveaux d’une autre variable indépendante dans le modèle. Un exemple aidera à illustrer la nature d’une interaction. Exemple d’ANOVA factorielle Supposons qu’au lieu d’étudier simplement l’effet de l’enseignant sur la réussite, nous souhaitions ajouter une deuxième variable indépendante, à savoir le manuel utilisé. Notre hypothèse globale serait donc que l’enseignant et le manuel ont un effet sur les scores de réussite. Nos données apparaissent maintenant comme suit : Lorsque nous élargissons notre fichier de données SPSS, nos données ressemblent à ceci : Lancer l’ANOVA factorielle dans SPSS Pour exécuter l’ANOVA factorielle dans SPSS : ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → UNIVARIÉ Nous plaçons score dans la boîte de la variable dépendante comme d’habitude, puis enseignant et manuel dans la boîte facteurs fixes (à gauche). Dans l’onglet Options,dans  Affichage, et nous cochons  Estimation de la taille de l’effet et Test d’homogénéité. Syntaxe SPSS Voici la syntaxe générée par SPSS :  SPSS confirme qu’il y a 6 observations dans chaque niveau d’enseignant et 12 dans chaque groupe de manuel. Le test de Levene sur l’égalité des variances ne rejette pas l’hypothèse nulle, donc nous n’avons pas de raison de douter que les variances soient égales. Résultats principaux de l’ANOVA Les effets sont les suivants : Effet principal de l’enseignant : significatif (p = 0,000) Effet principal du manuel : non significatif (p = 0,231) Effet d’interaction enseignant*manuel : significatif (p = 0,000) Test de Levene Analyse des tailles d’effet Rappel : l’Eta² partiel est similaire à l’Eta², mais il exclut les autres sources de variance dans le dénominateur. Il est donc généralement plus élevé que l’Eta². Formule : Exemple pour enseignant :   Graphique de l’interaction Résumé de l’analyse   Une ANOVA factorielle à deux facteurs à effets fixes a été réalisée sur les données de réussite pour déterminer s’il existait des différences moyennes selon l’enseignant et le manuel, ainsi qu’une interaction entre les deux facteurs. Effet principal significatif de l’enseignant (p < 0,001) Interaction significative entre enseignant et manuel (p < 0,001) Aucun effet significatif du manuel seul (p = 0,231) Observations sur le graphique d’interaction L’effet d’interaction est évident : les différences de moyennes selon le manuel ne sont pas constantes selon l’enseignant. Pour enseignant = 1, la moyenne est plus élevée pour manuel = 2. Pour enseignant = 2, même tendance mais les deux moyennes augmentent. Pour enseignant = 3, inversion : manuel = 1 donne une moyenne bien plus élevée. Pour enseignant = 4, pas de différence notable entre les manuels.

Il y a des moments où nous souhaitons généraliser nos résultats non seulement à ces enseignants utilisés dans l’expérience, mais aussi à l’ensemble des enseignants, qu’ils soient présents dans notre échantillon ou absents. Dans ce modèle, les enseignants étudiés sont considérés comme un échantillon aléatoire de tous les enseignants qui auraient pu être sélectionnés. Ce modèle est appelé modèle à effets aléatoires, puisque le facteur d’intérêt (ici, les enseignants) est considéré comme un échantillon aléatoire de tous les enseignants que nous aurions pu utiliser pour représenter les niveaux de la variable indépendante. Les hypothèses nulles dans une ANOVA à effets aléatoires ne concernent pas réellement les différences de moyennes de la même manière que dans un modèle à effets fixes, mais plutôt les variances. Pourquoi cela ? Parce que, littéralement, nous ne cherchons pas à estimer des différences de moyennes dans une population particulière. Ce qui nous intéresse, c’est de mesurer dans quelle mesure la variance de la variable dépendante peut être expliquée par les niveaux de la variable indépendante, qu’ils soient échantillonnés ou non. Dans une ANOVA à effets aléatoires à un facteur, notre hypothèse nulle est formulée comme suit : H₀ : σ²A = 0 Et l’hypothèse alternative : H₁ : σ²A > 0 Les hypothèses dans l’ANOVA  à effets aléatoires sont les mêmes que pour les effets fixes. Cependant, on suppose en plus que l’effet aléatoire est tiré d’une distribution normale. Pour exécuter une ANOVA à effets aléatoires dans SPSS, suivez les étapes suivantes : ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → COMPOSANTES DE LA VARIANCE Déplacez nc dans la case Variable dépendante (comme dans une ANOVA à effets fixes), mais au lieu de déplacer enseignement dans Facteurs fixes, placez-le dans Facteurs aléatoires. Ensuite, cliquez sur Options : ● Il est nécessaire de choisir une méthode d’estimation des paramètres pour le modèle à effets aléatoires.  ● Pour nos besoins, sélectionnez Maximum de vraisemblance restreint (REML), qui est souvent considéré comme l’estimateur de choix pour ce type de modèle. ● C’est la seule case à cocher ; vous pouvez laisser les autres paramètres par défaut. Cliquez sur Continuer. Après exécution du modèle, on obtient la syntaxe suivante :   SPSS nous confirme qu’il y a six observations dans chaque groupe d’enseignants. Voici comment interpréter les estimations de variance : ● La variance due à enseignement est de 94,867. Cela représente la variance due aux différents niveaux du facteur enseignant – qu’ils soient présents dans notre expérience ou dans la population. Rappelons que dans une ANOVA à effets aléatoires, les niveaux de facteur dans notre expérience sont un échantillon aléatoire des niveaux possibles. ● La variance d’erreur est de 18,842, soit la variance non expliquée par le modèle. Ces composantes de variance ne sont pas encore des proportions. Pour obtenir la proportion de variance expliquée par enseignement, on divise la variance associée à teach par la somme des deux composantes de variance : C’est-à-dire qu’environ 83 % de la variance des scores de performance peut être attribuée aux niveaux de enseignement, qu’ils soient dans l’échantillon ou dans la population. Si ces données étaient réelles, ce serait très impressionnant car cela suggère que le fait de changer d’enseignant pourrait entraîner une grande variation dans la performance. Ce qui précède constitue seulement une introduction aux modèles à effets aléatoires, une simple démonstration pour montrer leur fonctionnement et comment effectuer une ANOVA à un facteur avec effets aléatoires. Pour plus de détails, Hays (1994) constitue une excellente référence. Une ANOVA à effets aléatoires à un facteur a été menée sur les données de performance pour tester l’hypothèse nulle selon laquelle la variance due aux enseignants est égale à 0. Il a été constaté qu’environ 83 % de la variance dans les scores de performance peut être attribuée aux différences entre enseignants, que ceux-ci aient été échantillonnés dans l’expérience ou proviennent de la population.