Considérons les données fictives suivantes sur l’apprentissage en fonction de l’essai. Pour ces données, six rats ont été observés dans une boîte de Skinner, et le temps (en minutes) que chaque rat a pris pour appuyer sur un levier a été enregistré. Si le rat apprend la réponse « appuyer sur le levier », alors le temps nécessaire pour appuyer sur le levier devrait diminuer au fil des essais.
Apprentissage en fonction de l’essai (Données hypothétiques)
Essai
| Rat | 1 | 2 | 3 | Moyennes des rats |
| 1 | 10.0 | 8.2 | 5.3 | 7.83 |
| 2 | 12.1 | 11.2 | 9.1 | 10.80 |
| 3 | 9.2 | 8.1 | 4.6 | 7.30 |
| 4 | 11.6 | 10.5 | 8.1 | 10.07 |
| 5 | 8.3 | 7.6 | 5.5 | 7.13 |
| 6 | 10.5 | 9.5 | 8.1 | 9.37 |
| Moyennes des essais | M=10.28 | M=9.18 | M=6.78 |
Nous observons que, globalement, le temps de réponse moyen diminue au fil du temps, passant de 10.28 à 6.78. Pour ces données, chaque rat sert essentiellement de son propre « témoin », car chaque rat est observé de manière répétée à travers les essais. C’est ce qui rend ces données des mesures répétées. Notons qu’il n’y a que 6 rats utilisés dans cette étude. Dans un plan inter-sujets classique, chaque point de données représenterait une observation sur un rat différent, ce qui donnerait ici 18 observations. Pour nos données, la variable dépendante est le temps de réponse en minutes, tandis que la variable indépendante est l’essai. Les données nécessitent une ANOVA à mesures répétées à un facteur. Nous souhaitons évaluer l’hypothèse nulle selon laquelle les moyennes des essais sont égales :
Hypothèse nulle : Moyenne de l’essai 1 = Moyenne de l’essai 2 = Moyenne de l’essai 3
Un rejet de l’hypothèse nulle suggérerait qu’il existe une différence entre les essais. L’ANOVA à mesures répétées viole l’hypothèse d’indépendance entre les conditions, et donc une hypothèse supplémentaire est requise pour ces plans : l’hypothèse de sphéricité, que nous évaluerons dans SPSS.
La saisie des données dans SPSS est légèrement différente pour une ANOVA à mesures répétées par rapport à un plan inter-sujets classique. Nous entrons les données comme suit :
Chaque colonne correspond aux données d’un essai. Pour analyser ces données, nous procédons comme suit :
ANALYSE → MODÈLE LINÉAIRE GÉNÉRAL → MESURES RÉPÉTÉES
SPSS affiche par défaut le facteur 1 dans le champ « Nom du facteur intra-sujet ». Nous le renommons en « trial » et entrons « 3 » dans « Nombre de niveaux », car il y a trois essais. Cliquez sur « Ajouter », ce qui affiche maintenant la variable « trial » dans la boîte (trial(3)).
Ensuite, cliquez sur « Définir ».
Déplacez « trial_1 », « trial_2 » et « trial_3 » vers les emplacements respectifs dans la fenêtre « Variables intra-sujets (trial) ». Dans la fenêtre « Graphiques de profil », déplacez « trial » vers l’axe horizontal, puis cliquez sur « Ajouter » pour que « trial » apparaisse dans la fenêtre des graphiques en bas de la boîte. Cliquez sur « Continuer ».
Nous obtiendrons également un graphique des moyennes. Sélectionnez Tracés puis deplacer la variable Trial dans Axe horizontal .
Enfin, nous obtiendrons une mesure de la taille de l’effet avant de procéder à l’analyse.
Sélectionnez Options puis Estimations d’effets de taille.
Sélectionnez Moyenne marginale estimée. puis deplacez « trial » vers la fenêtre « Afficher les moyennes pour » et cochez la case « Comparer les effets principaux », avec un ajustement de l’intervalle de confiance égal à LSD (aucun).
Syntaxe générée par SPSS :
SPSS confirme d’abord que notre facteur intra-sujets comprend trois niveaux.
Ensuite, SPSS fournit les tests multivariés :
Une ANOVA à mesures répétées a été réalisée sur « trial » avec trois niveaux. Tous les tests multivariés suggèrent un rejet de l’hypothèse nulle selon laquelle les temps d’apprentissage moyens par essai sont différents dans la population d’où proviennent les données. La trace de Pillai, le lambda de Wilks, la trace de Hotelling et la plus grande racine de Roy étaient tous statistiquement significatifs (p=0.003). Le test de sphéricité de Mauchly a été réalisé pour évaluer l’hypothèse nulle de sphéricité entre les essais. Il n’y a pas suffisamment de preuves pour suggérer une violation de la sphéricité (p=0.076). Les tests univariés de significativité sur le facteur « trial » rejettent l’hypothèse nulle d’absence de différences moyennes entre les essais (p<0.001). Environ 94 % de la variance (ηp2=0.936) des temps d’apprentissage moyens peut être expliquée par « trial ». Le test de Greenhouse-Geisser, plus conservateur et protégeant contre une éventuelle violation de la sphéricité, rejette également l’hypothèse nulle (p<0.001).
Les tests multivariés sont un peu plus complexes à interpréter que le F univarié. Nous les détaillerons davantage dans le chapitre sur la MANOVA. Pour faire simple : au lieu de considérer le temps de réponse comme une seule variable dépendante, on le considère comme trois variables (essais 1, 2 et 3), ce qui transforme l’analyse en une ANOVA multivariée. Tous les tests multivariés (trace de Pillai, lambda de Wilks, trace de Hotelling, racine maximale de Roy) indiquent un effet significatif, avec une valeur de p = 0,003. L’eta partielle au carré est de 0,942, indiquant un effet fort des essais sur le temps de réponse.
Test de sphéricité de Mauchly
Ce test est essentiel en ANOVA à mesures répétées. Ici, p = 0,076, ce qui signifie qu’il n’y a pas de violation significative de l’hypothèse de sphéricité.
Tests univariés des effets intra-sujets
Nous observons que l’effet du facteur trial est significatif (p < 0,001). L’eta partielle au carré est de 0,936, soit 94 % de la variance du temps de réponse expliquée par les essais.
SPSS propose plusieurs corrections (sphéricité supposée, Greenhouse–Geisser, Huynh–Feldt, borne inférieure). Bien que la sphéricité ne soit pas violée ici, la correction de Greenhouse–Geisser est souvent recommandée.
Tests de contrastes intra-sujets
Les tests indiquent qu’une tendance linéaire explique mieux les différences entre essais (p = 0,000) qu’une tendance quadratique (p = 0,004). Le graphique suivant le confirme :
On voit que le temps moyen diminue de manière presque linéaire entre les essais 1 et 3.
Effets inter-sujets
Ici, aucun facteur inter-sujet n’a été inclus. Toutefois, SPSS désigne la variabilité inter-sujets comme erreur. On peut démontrer cela en incluant manuellement une variable « sujet » comme facteur inter-sujet.
Comparaisons par paires
Les comparaisons montrent des différences significatives entre tous les essais (p < 0,05). Les intervalles de confiance sont aussi fournis. Par exemple, pour les essais 1 et 2, la différence moyenne est significative avec un intervalle [0.707 ; 1.493].
Comparaisons avec correction de Bonferroni
La même conclusion est obtenue, mais avec des valeurs p légèrement augmentées en raison de la correction. Cela permet de mieux contrôler les erreurs de type I.
Conclusion :
L’ANOVA à un facteur avec mesures répétées montre des différences significatives entre les essais. La tendance est essentiellement linéaire, et environ 94 % de la variance du temps de réponse est expliquée par les essais. Les résultats sont robustes, qu’on utilise ou non les ajustements de sphéricité.