Contrastes et Tests Post Hoc sur l’Enseignant dans IBM SPSS

Contrastes et Tests Post Hoc sur l’Enseignant

Le rejet de l’hypothèse nulle dans l’ANOVA suggère qu’il existe des différences entre les moyennes de la population. Cependant, un résultat significatif de $F$ ne nous indique pas où se situent ces différences. Théoriquement, nous pourrions examiner les différences par paires en effectuant plusieurs tests $t$ entre les enseignants 1 vs. 2, 1 vs. 3, 1 vs. 4, 2 vs. 3, etc. Mais rappelons qu’à chaque test $t$ est associé un taux d’erreur de type I, fixé au niveau de signification du test. Ce taux d’erreur s’accumule à travers les tests, ce qui signifie que pour l’ensemble des comparaisons, le taux d’erreur global sera assez élevé.

En revanche, si nous n’avions qu’une ou deux comparaisons à effectuer, nous pourrions nous permettre de ne pas contrôler le taux d’erreur global, surtout si nous ne souhaitons pas faire toutes les comparaisons. Cela est particulièrement vrai si nous savons a priori (c’est-à-dire avant d’examiner les données) quelles comparaisons nous voulons effectuer, basées sur la théorie. Par exemple, supposons que nous souhaitions uniquement comparer les moyennes des enseignants 1 et 2 avec celles des enseignants 3 et 4 :

71.00+72.50 vs. 80.0+92.67

Effectuer uniquement cette comparaison maintiendrait le taux d’erreur de type I à 0.05, le niveau que nous avons fixé pour la comparaison. En d’autres termes, en ne faisant qu’une seule comparaison, nous n’avons pas à craindre que le taux d’erreur augmente. Pour réaliser cette comparaison entre les moyennes, nous pouvons formuler ce qu’on appelle un contraste. Un contraste est une combinaison linéaire de la forme :

C_i=c₁μ₁+c₂μ₂+c₃μ₃+c₄μ₄​

où c1 à $c4$ sont des poids entiers tels que la somme des poids est égale à 0. Autrement dit, un contraste est une combinaison linéaire de moyennes où la somme des c_j est nulle. Comment attribuer les poids ? Pour notre contraste, puisque nous voulons comparer les moyennes des enseignants 1 et 2 à celles des enseignants 3 et 4, nous devons attribuer des poids qui permettent cela. La solution suivante fonctionnerait :

C_i=(1)μ₁+(1)μ₂+(−1)μ₃+(−1)μ₄

​Remarquez que la somme des poids est égale à 0, et s’il n’y a pas de différence entre les enseignants 1 et 2 vs. 3 et 4, alors C_i​ sera égal à 0. S’il y a une différence ou un « déséquilibre » entre ces groupes, nous nous attendrions à ce que C_i soit différent de 0. Nous aurions pu utiliser d’autres poids, comme 2, -2, par exemple, car la somme des c_j est nulle serait toujours respecté. Théoriquement, nous pourrions utiliser n’importe quels poids entiers tant qu’ils représentent le contraste qui nous intéresse.

Pour effectuer ce contraste dans SPSS, nous utilisons la syntaxe suivante :

ANOVA

Coefficients de Contraste

Tests de Contraste

Un contraste comparant les moyennes de réussite des enseignants 1 et 2 avec celles des enseignants 3 et 4 a été effectué. Que les variances soient supposées égales ou non, l’hypothèse nulle d’égalité a été rejetée (p<0.001). Nous avons donc des preuves pour suggérer une différence de moyenne entre les enseignants 1 et 2 vs. 3 et 4.

Nous voyons à gauche que SPSS effectue à nouveau l’ANOVA pour les données de réussite, puis poursuit avec le contraste sous le tableau récapitulatif. Les coefficients 1, 1, -1, -1 correspondent au contraste que nous voulions effectuer.

Les Tests de Contraste révèlent la valeur $p$ du contraste. En supposant que les variances ne sont pas égales (pour cet exemple), la valeur du contraste est de -29.1667, avec une statistique $t$ de -8.229, évaluée avec 15.034 degrés de liberté. La valeur $p$ bilatérale est de 0.000, donc nous rejetons l’hypothèse nulle Ci=0 et concluons que Ci≠0. Autrement dit, nous avons des preuves que dans la population dont ces données sont tirées, les moyennes des enseignants 1 et 2, prises ensemble, diffèrent de celles des enseignants 3 et 4.

Nous aurions obtenu la même valeur de contraste en le calculant manuellement, en utilisant les moyennes échantillonnées :

La valeur de -29.17 correspond à celle générée par SPSS. Peu importe le signe du contraste ; nous nous intéressons seulement à savoir s’il est suffisamment différent de zéro pour rejeter l’hypothèse nulle Ci=0Ci​=0. Nous avons donc des preuves que, collectivement, les moyennes des enseignants 1 et 2 diffèrent de celles des enseignants 3 et 4.

Les contrastes sont utiles lorsque nous avons une théorie nous guidant sur les comparaisons à effectuer, afin de ne pas augmenter le taux d’erreur de type I. Cependant, souvent, nous n’avons pas de théorie solide et souhaitons effectuer beaucoup plus de comparaisons. Dans ce cas, les tests Post Hoc nous permettent de faire des comparaisons par paires tout en contrôlant le taux d’erreur global. Il existe plusieurs tests Post Hoc, variant en termes de conservatisme :

• Un test conservateur indiquera une différence seulement s’il y a de solides preuves. Il est plus difficile de rejeter l’hypothèse nulle, mais si elle est rejetée, la confiance dans le résultat est élevée.
• Un test libéral indiquera une différence plus facilement, mais avec moins de confiance dans sa validité.
• Pour la plupart des situations de recherche, le test Tukey est considéré comme un bon compromis. Il contrôle raisonnablement le taux d’erreur tout en ayant une puissance suffisante pour rejeter les hypothèses nulles.

---

Résultats du test Tukey :

Comparaisons Multiples

• La différence de moyenne est significative au niveau .05.

Un test Post Hoc de Tukey a été utilisé pour identifier les différences de moyennes par paires entre les groupes d’enseignants. Des différences significatives ont été trouvées entre :

• Enseignants 1 et 3 ($p=0.009$),
• Enseignants 1 et 4 ($p=0.000$),
• Enseignants 2 et 3 ($p=0.033$),
• Enseignants 2 et 4 ($p=0.000$),
• Enseignants 3 et 4 ($p=0.000$).

Aucune différence significative n’a été trouvée entre les enseignants 1 et 2 ($p=0.931$).

Les intervalles de confiance à 95 % fournissent une plage probable pour la vraie différence de moyenne. Par exemple, pour la comparaison entre les enseignants 1 et 2, dans 95 % des échantillons tirés de cette population, la vraie différence de moyenne se situe entre -8.51 et 5.51.