Tests Binomiaux
Un test binomial peut être utilisé pour évaluer une hypothèse concernant la probabilité d’un événement pouvant avoir deux résultats mutuellement exclusifs, et dont la probabilité de « succès » est la même d’un essai à l’autre (ce qu’on appelle parfois l’hypothèse de « stationnarité »). Prenons un exemple simple : supposons que vous souhaitiez évaluer l’hypothèse nulle selon laquelle une pièce de monnaie est équilibrée, c’est-à-dire que la probabilité d’obtenir « pile » est égale à 0,5 et celle d’obtenir « face » est également égale à 0,5. Pour tester cette théorie, vous lancez la pièce cinq fois et obtenez deux « pile ». La question que vous vous posez est :
Quelle est la probabilité d’obtenir deux « pile » sur cinq lancers avec une pièce équilibrée ?
Si cette probabilité est relativement élevée sous l’hypothèse que la pièce est équilibrée, alors vous conviendrez probablement que cela ne remet pas en cause l’hypothèse nulle. En revanche, si cette probabilité est très faible sous l’hypothèse nulle, cela pourrait nous amener à douter de l’équilibre de la pièce.
Nous enregistrons nos lancers dans un fichier de données SPSS, où « 1 » représente « pile » et « 0 » représente « face » :
Remarquons que dans cette séquence de lancers, nous avons obtenu deux « face » d’abord, suivis de deux « pile », puis d’un « face ». L’ordre d’apparition des « pile » n’a pas d’importance. Ce qui compte, c’est que nous avons obtenu deux « pile ». Nous voulons connaître la probabilité d’obtenir deux « pile » sur cinq lancers avec une pièce équilibrée. Commençons par vérifier les fréquences dans SPSS :
ANALYSE → STATISTIQUES DESCRIPTIVES → FRÉQUENCES
Nous confirmons ci-dessus que SPSS lit correctement notre fichier de données, puisqu’il indique trois « face » (0) et deux « pile » (1). Pour plus de clarté, nous trions ensuite les cas par ordre décroissant de valeurs, afin que nos événements « pile » apparaissent en premier :
DONNÉES → TRIER LES OBSERVATIONS
Nous effectuons maintenant le test binomial :
ANALYSE → TESTS NON PARAMÉTRIQUES → DIALOGUES ANCIENNES VERSIONS → BINOMIAL
Nous déplaçons « lancers_piece » dans la liste des variables à tester. Nous définissons la proportion testée à 0,50 car c’est la valeur hypothétique sous l’hypothèse nulle. Ensuite, nous cliquons sur Options et sélectionnons Exact :
Un test binomial a été réalisé pour évaluer la validité de l’hypothèse selon laquelle une pièce est équilibrée, après avoir obtenu deux « pile » sur cinq lancers. La probabilité d’obtenir un tel résultat sous l’hypothèse nulle d’équilibre (p = 0,5) était égale à 0,312, ce qui suggère qu’un tel résultat (deux « pile » sur cinq lancers) n’est pas rare avec une pièce équilibrée. Par conséquent, nous n’avons aucune raison de rejeter l’hypothèse nulle selon laquelle la pièce est équilibrée.
Nous notons que la proportion observée est égale à 0,40 (soit deux « pile » sur cinq lancers). La probabilité ponctuelle est égale à 0,312. Nous interprétons cela comme suit : la probabilité d’obtenir deux « pile » sur cinq lancers avec une pièce équilibrée (p = 0,50) est de 0,312. Comme cette probabilité est relativement élevée, nous n’avons aucune raison de douter que la pièce soit équilibrée. Autrement dit, le test binomial nous indique qu’avec une pièce équilibrée, nous avons une chance assez importante d’obtenir deux « pile » sur cinq lancers, ce qui correspond également à notre intuition. Notons que nous n’avons pas « prouvé » ni « confirmé » que la pièce est équilibrée. Nous n’avons simplement pas de preuve pour remettre en cause son équilibre.
Rappelons que le test binomial présenté ici n’est approprié que pour des données pouvant aboutir à l’un de deux résultats mutuellement exclusifs. Si l’événement en question peut avoir plus de deux résultats, le test binomial n’est pas adapté. S’il peut aboutir à plus de deux résultats (par exemple trois ou quatre), alors la distribution multinomiale serait appropriée. Pour plus de détails, voir Hays (1994).